Ensembles finis Exemples

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3^{2} (\frac{1}{6}) - 3 x$

Étape 1

Résolvez $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ .

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Étape 1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 9 (\frac{1}{6}) - 3 x$

Étape 1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (3) \frac{1}{6} - 3 x$

Étape 1.1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Étape 1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 \cdot 3 \frac{1}{3 \cdot 2} - 3 x$

Étape 1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = 3 (\frac{1}{2}) - 3 x$

Étape 1.1.3

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 x + \sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x$

Étape 1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} - 2 = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x$

Étape 1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = \frac{3}{2} - 3 x - 2 x + 2$

Étape 1.2.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.2.4

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 2 \cdot 2}{2}$

Étape 1.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{3 + 4}{2}$

Étape 1.2.6.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 3 x - 2 x + \frac{7}{2}$

Étape 1.2.7

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}} = - 5 x + \frac{7}{2}$

Étape 2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\frac{x - 8 + 4}{2}}$ comme ${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{x - 8 + 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.2

Additionnez $- 8$ et $4$ .

${(\frac{x - 4}{2})}^{1} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez

$\frac{x - 4}{2} = {(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez ${(- 5 x + \frac{7}{2})}^{2}$ comme $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ .

$\frac{x - 4}{2} = (- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$

Étape 3.3.1.2

Développez $(- 5 x + \frac{7}{2}) (- 5 x + \frac{7}{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x + \frac{7}{2}) + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Étape 3.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x + \frac{7}{2})$

Étape 3.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 x (- 5 x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x \cdot x - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.3.1.2.1

Déplacez $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 (x \cdot x) - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = - 5 \cdot - 5 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 5 x \frac{7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4

Multipliez $- 5 x \frac{7}{2}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.4.1

Associez $- 5$ et $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 5 \cdot 7}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + x \frac{- 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.4.3

Associez $x$ et $\frac{- 35}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{x \cdot - 35}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.5

Déplacez $- 35$ à gauche de $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + \frac{- 35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 \cdot x}{2} + \frac{7}{2} (- 5 x) + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7

Multipliez $\frac{7}{2} (- 5 x)$ .

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Étape 3.3.1.3.1.7.1

Associez $- 5$ et $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 5 \cdot 7}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7.2

Multipliez $- 5$ par $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35}{2} x + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.7.3

Associez $\frac{- 35}{2}$ et $x$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{- 35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 3.3.1.3.1.9

Multipliez $\frac{7}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Étape 3.3.1.3.1.9.1

Multipliez $\frac{7}{2}$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{7 \cdot 7}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.9.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{2 \cdot 2}$

Étape 3.3.1.3.1.9.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - \frac{35 x}{2} - \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 3.3.1.3.2

Soustrayez $\frac{35 x}{2}$ de $- \frac{35 x}{2}$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 2 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 (- 1) \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 3.3.1.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} + 2 \cdot - 1 \frac{35 x}{2} + \frac{49}{4}$

Étape 3.3.1.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 1 (35 x) + \frac{49}{4}$

Étape 3.3.1.4.2

Multipliez $35$ par $- 1$ .

$\frac{x - 4}{2} = 25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Multipliez les deux côtés par $2$ .

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Étape 4.2

Simplifiez

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Étape 4.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x - 4}{2} \cdot 2 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Étape 4.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x - 4 = (25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.2.1

Simplifiez $(25 x^{2} - 35 x + \frac{49}{4}) \cdot 2$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x - 4 = 25 x^{2} \cdot 2 - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 4.2.2.1.2.1

Multipliez $2$ par $25$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 35 x \cdot 2 + \frac{49}{4} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 35$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{4} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.1.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 (2)} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2 \cdot 2} \cdot 2$

Étape 4.2.2.1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$x - 4 = 50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2}$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

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Étape 4.3.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} = x - 4$

Étape 4.3.2

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.3.2.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$50 x^{2} - 70 x + \frac{49}{2} - x = - 4$

Étape 4.3.2.2

Soustrayez $x$ de $- 70 x$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} = - 4$

Étape 4.3.3

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.3.3.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 = 0$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez $50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4$ .

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Étape 4.3.3.2.1

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.2

Associez $4$ et $\frac{2}{2}$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 4 \cdot 2}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.3.2.4.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{49 + 8}{2} = 0$

Étape 4.3.3.2.4.2

Additionnez $49$ et $8$ .

$50 x^{2} - 71 x + \frac{57}{2} = 0$

Étape 4.3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 4.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (50 x^{2}) + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2

Simplifiez

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Étape 4.3.4.2.1

Multipliez $50$ par $2$ .

$100 x^{2} + 2 (- 71 x) + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.2

Multipliez $- 71$ par $2$ .

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$100 x^{2} - 142 x + 2 (\frac{57}{2}) = 0$

Étape 4.3.4.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$100 x^{2} - 142 x + 57 = 0$

Étape 4.3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.3.6

Remplacez les valeurs $a = 100$ , $b = - 142$ et $c = 57$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{142 \pm \sqrt{{(- 142)}^{2} - 4 \cdot (100 \cdot 57)}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7

Simplifiez

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Étape 4.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.7.1.1

Élevez $- 142$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 4 \cdot 100 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 100 \cdot 57$ .

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Étape 4.3.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $100$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 400 \cdot 57}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.2.2

Multipliez $- 400$ par $57$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{20164 - 22800}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.3

Soustrayez $22800$ de $20164$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 2636}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.4

Réécrivez $- 2636$ comme $- 1 (2636)$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1 \cdot 2636}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2636)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}$ .

$x = \frac{142 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2636}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.7

Réécrivez $2636$ comme $2^{2} \cdot 659$ .

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Étape 4.3.7.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $2636$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{4 (659)}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{142 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 659}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{142 \pm i \cdot (2 \sqrt{659})}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{2 \cdot 100}$

Étape 4.3.7.2

Multipliez $2$ par $100$ .

$x = \frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$

Étape 4.3.7.3

Simplifiez $\frac{142 \pm 2 i \sqrt{659}}{200}$ .

$x = \frac{71 \pm i \sqrt{659}}{100}$

Étape 4.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{71 + i \sqrt{659}}{100}, \frac{71 - i \sqrt{659}}{100}$